sp1026 Favorite Dice

开始学习期望DP。
这是一道期望DP入门题。
首先我们设\(f[i]\)表示，已经取了\(i\)种数，距离取完的期望回合数。
根据概率的基本定理，我们可以知道，已经取了\(k\)种以后，下一种取到的是未取到过的概率是\(\frac{n-k}{n} \)；而取到的是取过的概率是\(\frac{k}{n}\)
我们很容易可以知道，已经取了\(i\)种数，下一次取可能有两种情况：
一：取到的是一种新的数。
二：取到的是已经取到过的数。
但无论如何都要再取一次才有造成状态改变的空间。
故而我们得到方程：
$$ f_{i}=\frac{n-i}{n}*f_{i+1}+\frac{i}{n}*f_{i}+1 $$
即：
$$ n*f_{i}=(n-i)*f_{i+1}+i*f_{i}+n $$
从而得到：
$$ f_{i}=\frac{(n-i)*f_{i+1}+n}{n-i} $$
等价于：
$$ f_{i}=f_{i+1}+\frac{n}{n-i} $$
于是我们得到了逆向的递推方程。
然后是边界条件。很显然，\(f_{n}=0\)，这是因为，已经取到\(n\)种以后，就意味着已经取完了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
double f[1005];
int n;
void init(){
    scanf("%d",&n);
    f[n]=0;
    for(int i=n-1;i>=0;--i){
        f[i]=f[i+1]+(double)n/(n-i);
    }
    printf("%.2lf\n",f[0]);
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        init();
    }
    return 0;
}